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Ein `!unitärer Operator`! ist in der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f ein `F33f`_`[bijektiver`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bijektive_Funktion]`_`f `F33f`_`[linearer Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearer_Operator]`_`f zwischen zwei `F33f`_`[Hilberträumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f, der das `F33f`_`[Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarprodukt]`_`f erhält. Unitäre Operatoren sind damit spezielle `F33f`_`[orthogonale`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthogonale_Abbildung]`_`f oder `F33f`_`[unitäre Abbildungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unitäre_Abbildung]`_`f und stets `F33f`_`[normerhaltend`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Norm_(Mathematik)]`_`f, `F33f`_`[abstandserhaltend`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isometrie]`_`f, `F33f`_`[beschränkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Beschränkter_Operator]`_`f und, falls beide Hilberträume gleich sind, `F33f`_`[normal`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normaler_Operator]`_`f. Der `F33f`_`[inverse Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Inverse_Funktion]`_`f eines unitären Operators ist gleich seinem `F33f`_`[adjungierten Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adjungierter_Operator]`_`f. Die `F33f`_`[Eigenwerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwert]`_`f eines unitären Operators in einem Hilbertraum haben alle den `F33f`_`[Betrag`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Betragsfunktion]`_`f eins. Unitäre Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension können nach Wahl je einer `F33f`_`[Orthonormalbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthonormalbasis]`_`f durch `F33f`_`[unitäre Matrizen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unitäre_Matrix]`_`f dargestellt werden. Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen unendlichdimensionalen `F33f`_`[Funktionenräumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionenraum]`_`f sind die `F33f`_`[Fouriertransformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fouriertransformation]`_`f und die `F33f`_`[Zeitentwicklungsoperatoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitentwicklungsoperator]`_`f der `F33f`_`[Quantenmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanik]`_`f.
>>Contents
• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f
• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f
• `F0af`_`[Grundeigenschaften`#grundeigenschaften]`_`f
• `F0af`_`[Operatornorm`#operatornorm]`_`f
• `F0af`_`[Inverse`#inverse]`_`f
• `F0af`_`[Normalität`#normalit-t]`_`f
• `F0af`_`[Basistransformation`#basistransformation]`_`f
• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f
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>>Definition
Ein unitärer Operator ist ein `F33f`_`[bijektiver`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bijektive_Funktion]`_`f `F33f`_`[linearer Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearer_Operator]`_`f T : : V → → W {\\displaystyle T\\colon V\\to W} zwischen zwei `F33f`_`[Hilberträumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f ( V , ⟨ ⟨ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⟩ ⟩ V ) {\\displaystyle (V,\\langle \\cdot ,\\cdot \\rangle _{V})} und ( W , ⟨ ⟨ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⟩ ⟩ W ) {\\displaystyle (W,\\langle \\cdot ,\\cdot \\rangle _{W})} , sodass
⟨ ⟨ T u , T v ⟩ ⟩ W = ⟨ ⟨ u , v ⟩ ⟩ V {\\displaystyle \\langle Tu,Tv\\rangle _{W}=\\langle u,v\\rangle _{V}}
für alle Vektoren u , v ∈ ∈ V {\\displaystyle u,v\\in V} gilt. Ein unitärer Operator ist demnach ein `F33f`_`[Isomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isomorphismus]`_`f zwischen zwei Hilberträumen, der das `F33f`_`[Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarprodukt]`_`f erhält. Ein unitärer Operator zwischen zwei reellen Hilberträumen wird gelegentlich auch als `*orthogonaler Operator`* bezeichnet.
>>Eigenschaften
Im Folgenden werden die Zusätze V , W {\\displaystyle V,W} bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.
>>>Grundeigenschaften
Jeder unitäre Operator stellt eine `F33f`_`[unitäre Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unitäre_Abbildung]`_`f (im reellen Fall `F33f`_`[orthogonale Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthogonale_Abbildung]`_`f) dar. Die `F33f`_`[Linearität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden. Ein unitärer Operator erhält weiterhin die `F33f`_`[Skalarproduktnorm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarproduktnorm]`_`f eines Vektors, das heißt, es gilt
‖ ‖ T v ‖ ‖ = ⟨ ⟨ T v , T v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ v , v ⟩ ⟩ = ‖ ‖ v ‖ ‖ {\\displaystyle \\|Tv\\|={\\sqrt {\\langle Tv,Tv\\rangle }}={\\sqrt {\\langle v,v\\rangle }}=\\|v\\|} ,
und damit auch den `F33f`_`[Abstand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abstand]`_`f zweier Vektoren. Die Abbildung T {\\displaystyle T} stellt somit eine `F33f`_`[Isometrie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isometrie]`_`f dar und die beiden Räume V {\\displaystyle V} und W {\\displaystyle W} sind daher `F33f`_`[isometrisch isomorph`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isometrische_Isomorphie]`_`f. Die `F33f`_`[Eigenwerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwert]`_`f eines unitären Operators T : : V → → V {\\displaystyle T\\colon V\\to V} haben alle den `F33f`_`[Betrag`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Betragsfunktion]`_`f eins. Allgemeiner liegt das `F33f`_`[Spektrum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektrum_(Operatortheorie)]`_`f eines unitären Operators im Rand des `F33f`_`[Einheitskreises`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitskreis]`_`f.
>>>Operatornorm
Für die `F33f`_`[Operatornorm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operatornorm]`_`f eines unitären Operators T {\\displaystyle T} gilt aufgrund der Normerhaltung
‖ ‖ T ‖ ‖ = sup ‖ ‖ v ‖ ‖ = 1 ‖ ‖ T v ‖ ‖ = sup ‖ ‖ v ‖ ‖ = 1 ‖ ‖ v ‖ ‖ = 1 {\\displaystyle \\|T\\|=\\sup _{\\|v\\|=1}\\|Tv\\|=\\sup _{\\|v\\|=1}\\|v\\|=1} .
Ein unitärer Operator ist demnach immer `F33f`_`[beschränkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Beschränkter_Operator]`_`f und damit `F33f`_`[stetig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetige_Funktion]`_`f.
>>>Inverse
Der `F33f`_`[inverse Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Inverse_Abbildung]`_`f T − − 1 {\\displaystyle T^{-1}} eines unitären Operators T {\\displaystyle T} ist gleich seinem `F33f`_`[adjungierten Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adjungierter_Operator]`_`f T ∗ ∗ {\\displaystyle T^{\\ast }} , also
T − − 1 = T ∗ ∗ {\\displaystyle T^{-1}=T^{\\ast }} ,
denn es gilt
⟨ ⟨ u , T ∗ ∗ v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ T u , v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ T u , T T − − 1 v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u , T − − 1 v ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle u,T^{\\ast }v\\rangle =\\langle Tu,v\\rangle =\\langle Tu,TT^{-1}v\\rangle =\\langle u,T^{-1}v\\rangle } .
Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators überein, dann ist dieser unitär, denn es gilt
⟨ ⟨ T u , T v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u , T ∗ ∗ T v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u , T − − 1 T v ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u , v ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle Tu,Tv\\rangle =\\langle u,T^{\\ast }Tv\\rangle =\\langle u,T^{-1}Tv\\rangle =\\langle u,v\\rangle } .
>>>Normalität
Aufgrund der Übereinstimmung von Inverser und Adjungierter ist ein unitärer Operator im Fall V = W {\\displaystyle V=W} stets `F33f`_`[normal`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normaler_Operator]`_`f, das heißt
T ∗ ∗ T = T T ∗ ∗ = I {\\displaystyle T^{\\ast }T=TT^{\\ast }=I} .
Für unitäre Operatoren auf komplexen Hilberträumen und `F33f`_`[selbstadjungierte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Selbstadjungierter_Operator]`_`f unitäre Operatoren auf reellen Hilberträumen gilt damit der `F33f`_`[Spektralsatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralsatz]`_`f.
>>>Basistransformation
Ist T {\\displaystyle T} ein unitärer Operator und ist ( v i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (v_{i})_{i\\in I}} eine `F33f`_`[Hilbertbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertbasis]`_`f (ein vollständiges Orthonormalsystem) von V {\\displaystyle V} , dann ist ( T v i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (Tv_{i})_{i\\in I}} eine Hilbertbasis von W {\\displaystyle W} , denn es gilt
⟨ ⟨ T v i , T v j ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ v i , v j ⟩ ⟩ = δ δ i j {\\displaystyle \\langle Tv_{i},Tv_{j}\\rangle =\\langle v_{i},v_{j}\\rangle =\\delta _{ij}} .
Sind umgekehrt ( v i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (v_{i})_{i\\in I}} und ( T v i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (Tv_{i})_{i\\in I}} Hilbertbasen von V {\\displaystyle V} und W {\\displaystyle W} und ist T {\\displaystyle T} linear, so folgt daraus die Unitarität von T {\\displaystyle T} , denn man erhält
⟨ ⟨ T u , T v ⟩ ⟩ = ⟨ T ( ∑ ∑ i λ λ i v i ) , T ( ∑ ∑ j μ μ j v j ) ⟩ = ⟨ ∑ ∑ i λ λ i T v i , ∑ ∑ j μ μ j T v j ⟩ = ∑ ∑ i ∑ ∑ j λ λ i μ μ ¯ ¯ j ⟨ T v i , T v j ⟩ = = ∑ ∑ i ∑ ∑ j λ λ i μ μ ¯ ¯ j δ δ i j = ∑ ∑ i ∑ ∑ j λ λ i μ μ ¯ ¯ j ⟨ ⟨ v i , v j ⟩ ⟩ = ⟨ ∑ ∑ i λ λ i v i , ∑ ∑ j μ μ j v j ⟩ = ⟨ ⟨ u , v ⟩ ⟩ . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\langle Tu,Tv\\rangle &={\\big \\langle }T{\\big (}{\\textstyle \\sum _{i}}\\lambda _{i}v_{i}{\\big )},T{\\big (}{\\textstyle \\sum _{j}}\\mu _{j}v_{j}{\\big )}{\\big \\rangle }={\\big \\langle }{\\textstyle \\sum _{i}}\\lambda _{i}Tv_{i},{\\textstyle \\sum _{j}}\\mu _{j}Tv_{j}{\\big \\rangle }={\\textstyle \\sum _{i}}{\\textstyle \\sum _{j}}\\lambda _{i}{\\bar {\\mu }}_{j}{\\big \\langle }Tv_{i},Tv_{j}{\\big \\rangle }=\\\\&={\\textstyle \\sum _{i}}{\\textstyle \\sum _{j}}\\lambda _{i}{\\bar {\\mu }}_{j}\\delta _{ij}={\\textstyle \\sum _{i}}{\\textstyle \\sum _{j}}\\lambda _{i}{\\bar {\\mu }}_{j}\\langle v_{i},v_{j}\\rangle ={\\big \\langle }{\\textstyle \\sum _{i}}\\lambda _{i}v_{i},{\\textstyle \\sum _{j}}\\mu _{j}v_{j}{\\big \\rangle }=\\langle u,v\\rangle .\\end{aligned}}}
>>Siehe auch
• `F33f`_`[Hilbert-Schmidt-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbert-Schmidt-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Hilbertraum-Darstellung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum-Darstellung]`_`f
>>Literatur
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21381-3.
>>Weblinks
• V.I. Sobolev: Unitary operator. In: `F33f`_`[Michiel Hazewinkel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michiel_Hazewinkel]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Encyclopedia of Mathematics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Encyclopedia_of_Mathematics]`_`f. Springer-Verlag und `F33f`_`[EMS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=European_Mathematical_Society]`_`f Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• `F33f`_`[Eric W. Weisstein`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eric_Weisstein]`_`f: `*Unitary`*. In: `*`F33f`_`[MathWorld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=MathWorld]`_`f`* (englisch).
• asteroid: `*Unitary`*. In: `*`F33f`_`[PlanetMath`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=PlanetMath]`_`f.`* (englisch)
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